您应向厂里申请工伤赔偿。依据《工伤保险条例》，单位需在30日内提出工伤认定申请，否则可能影响您的权益。若不及时处理，可能导致赔偿延迟或无法获得应有赔偿。
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小拇指截断应申请工伤赔偿。操作如下：1.尽快向单位报告，并要求其在30日内申请工伤认定；2.工伤认定后，申请劳动能力鉴定，确定伤残等级；3.根据伤残等级，与单位协商赔偿；4.若协商无果，可申请劳动仲裁或提起诉讼。
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常见的处理方式是申请工伤认定和劳动能力鉴定。您应先向劳动保障行政部门申请工伤认定，再根据伤残等级向用人单位申请赔偿。若对赔偿有异议，可寻求劳动仲裁或诉讼。